К статье АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методами аналитической геометрии исследуются также и пространственные фигуры. Нужно лишь воспользоваться тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось шкалой, можно за дать тремя числами (координатами) положение точки в пространстве. Например (рис. 10), P = (1,2,3). Множеству точек , удовлетворяющих некоторому геометрическому условию, соответствует определенное алгебраическое соотношение между их координатами x, y, z. Для задания э того соответствия необходима фундаментальная формула , определяющая расстояние d между точками P1 = (x1, y1, z1) и P2 = (x2, y2, z2), а именно: d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2. Эта формула представляет собой обобщение теоремы Пифагора с двумерного случая на трехмерный . Из нее следует, что сфера радиуса r с центром в начале координат описывается уравнение м x2 + y2 + z2 = r2. Любая плоскость задается уравнением первой степени относительно x, y и z, т.е. уравнением вида Ax + By + Cz = D, где A, B, C и D - постоянные и, по крайней мере, один из коэффициентов A, B или C не равен нулю. Помимо сферы есть и другие поверхности, также описываемые уравнением второй степени относительно x, y и z. Одна из задач аналитической геометрии в трехмерном пространстве состоит в том, чтобы дать классификацию таких квадратичных поверхностей и, исходя из соответствующих им уравнений, исследовать их свойства. Эти поверхности называются эллипсоидами, параболоидами, гиперболоидами или коническими и цилиндрическими поверхностями различных типов. Особенно простой подкласс этих фигур состоит из поверхностей, получаемых при вращении конических сечений вокруг различных осей симметрии. Существуют многочисленные поверхности, задаваемые уравнения ми более высокого порядка. Как правило , они довольно сложны. Их изучением, как и плоских кривых высокого порядка, занимается алгебраическая геометрия . Как и в случае фигур на плоскости, исследование трехмерных геометрических тел часто облегчается подходящим выбором координатных осей. Соответствующее уравнение обычно удается упростить с помощью параллельного переноса и (или) поворота осей. Иногда бывает удобно воспользоваться непрямоугольной системой координат. Например, если в уравнение, записанное в прямоугольных координатах x, y и z, подставить x = r cos ?, y = r sin . и z = z, то получится эквивалентное и нередко более простое уравнение в цилиндрических координатах r, . и z (рис. 11). Так, уравнение z = x2 + y2 сводится к уравнению z = r2. Подстановка x = r cos . sin ?, y = r sin . sin ?, z = r cos ? преобразует уравнение, заданное в прямоугольных координатах, в уравнение в сферических координатах r, . и . (рис. 12). Аналитическая геометрия занимается также изучением прямых и кривых в трехмерном пространстве. Прямую можно рассматривать как линию пересечения подходящей пары плоскостей. Соответственно, пространственную прямую можно задать с помощью двух уравнений первого порядка. Однако часто бывает проще задать прямую L с помощью параметра t следующим образом: x = x0 + a1t, y = y0 + a2t, z = z0 + a3t. Когда t принимает все возможные действительные значения, мы получаем все возможные значения x, y и z для точек на L. При t = 0 мы получаем координаты x0, y0 и z0 некоторой точки P0; при t = 1 - координаты (x0 + a1, y0 + a2, z0 + a3) некоторой другой точки P1. Прямая L определяется двумя своими точками P0 и P1. Пространственную кривую можно также записать в виде x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t), где f1, f2 и f3 - заданные функции . (Прямая соответствует случаю, когда все три функции имеют первую степень по t.) Например, x = cos t, y = sin t, z = t - уравнения винтовой линии, получающейся при наматывании нити на цилиндрическую поверхность радиуса 1 с постоянным шагом (рис. 13). Более высокие размерности. Вполне естественно обобщить методы аналитической геометрии на случаи, когда число координат больше трех. Разумеется, невозможно представить себе наглядно гиперсферу x2 + y2 + z2 + w2 = r2 или гиперплоскость Ax + By + Cz + Dw = E. И все же мы можем воспользоваться теми же алгебраическими методами, как и в случаях двух или трех измерений, используя соответствующий им наглядный геометрический язык как подсказку, когда такая наглядность отсутствует. Более того, весьма плодотворным оказалось обобщение методов аналитической геометрии на бесконечномерные пространства. Многие важные разделы аналитической геометрии пространства трех и более измерений можно существенно упростить с помощью векторных методов (см. также ВЕКТОР).
Что такое аналитическая геометрия: аналитическая геометрия в пространстве? Значение аналитическая геометрия: аналитическая геометрия в пространстве в энциклопедии Кольера
аналитическая геометрия: аналитическая геометрия в пространстве - К статье АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методами аналитической геометрии исследуются также и пространственные фигуры. Нужно лишь воспользоваться тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось шкалой, можно задать тремя числами (координатами) положение точки в пространстве. Например (рис. 10), P = (1,2,3).
Множеству точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию, соответствует определенное алгебраическое соотношение между их координатами x, y, z. Для задания этого соответствия необходима фундаментальная формула, определяющая расстояние d между точками P1 = (x1, y1, z1) и P2 = (x2, y2, z2), а именно:
d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2.
Эта формула представляет собой обобщение теоремы Пифагора с двумерного случая на трехмерный. Из нее следует, что сфера радиуса r с центром в начале координат описывается уравнением
x2 + y2 + z2 = r2.
Любая плоскость задается уравнением первой степени относительно x, y и z, т.е. уравнением вида
Ax + By + Cz = D,
где A, B, C и D - постоянные и, по крайней мере, один из коэффициентов A, B или C не равен нулю. Помимо сферы есть и другие поверхности, также описываемые уравнением второй степени относительно x, y и z. Одна из задач аналитической геометрии в трехмерном пространстве состоит в том, чтобы дать классификацию таких квадратичных поверхностей и, исходя из соответствующих им уравнений, исследовать их свойства. Эти поверхности называются эллипсоидами, параболоидами, гиперболоидами или коническими и цилиндрическими поверхностями различных типов. Особенно простой подкласс этих фигур состоит из поверхностей, получаемых при вращении конических сечений вокруг различных осей симметрии.
Существуют многочисленные поверхности, задаваемые уравнениями более высокого порядка. Как правило, они довольно сложны. Их изучением, как и плоских кривых высокого порядка, занимается алгебраическая геометрия.
Как и в случае фигур на плоскости, исследование трехмерных геометрических тел часто облегчается подходящим выбором координатных осей. Соответствующее уравнение обычно удается упростить с помощью параллельного переноса и (или) поворота осей. Иногда бывает удобно воспользоваться непрямоугольной системой координат. Например, если в уравнение, записанное в прямоугольных координатах x, y и z, подставить x = r cos ?, y = r sin . и z = z, то получится эквивалентное и нередко более простое уравнение в цилиндрических координатах r, . и z (рис. 11). Так, уравнение z = x2 + y2 сводится к уравнению z = r2.
Подстановка
x = r cos . sin ?, y = r sin . sin ?, z = r cos ?
преобразует уравнение, заданное в прямоугольных координатах, в уравнение в сферических координатах r, . и . (рис. 12).
Аналитическая геометрия занимается также изучением прямых и кривых в трехмерном пространстве. Прямую можно рассматривать как линию пересечения подходящей пары плоскостей. Соответственно, пространственную прямую можно задать с помощью двух уравнений первого порядка. Однако часто бывает проще задать прямую L с помощью параметра t следующим образом:
x = x0 + a1t, y = y0 + a2t, z = z0 + a3t.
Когда t принимает все возможные действительные значения, мы получаем все возможные значения x, y и z для точек на L. При t = 0 мы получаем координаты x0, y0 и z0 некоторой точки P0; при t = 1 - координаты (x0 + a1, y0 + a2, z0 + a3) некоторой другой точки P1. Прямая L определяется двумя своими точками P0 и P1.
Пространственную кривую можно также записать в виде
x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t),
где f1, f2 и f3 - заданные функции. (Прямая соответствует случаю, когда все три функции имеют первую степень по t.)
Например,
x = cos t, y = sin t, z = t
- уравнения винтовой линии, получающейся при наматывании нити на цилиндрическую поверхность радиуса 1 с постоянным шагом (рис. 13).
Более высокие размерности. Вполне естественно обобщить методы аналитической геометрии на случаи, когда число координат больше трех. Разумеется, невозможно представить себе наглядно гиперсферу x2 + y2 + z2 + w2 = r2 или гиперплоскость Ax + By + Cz + Dw = E. И все же мы можем воспользоваться теми же алгебраическими методами, как и в случаях двух или трех измерений, используя соответствующий им наглядный геометрический язык как подсказку, когда такая наглядность отсутствует. Более того, весьма плодотворным оказалось обобщение методов аналитической геометрии на бесконечномерные пространства.
Многие важные разделы аналитической геометрии пространства трех и более измерений можно существенно упростить с помощью векторных методов (см. также ВЕКТОР).
Соседние слова
Что такое анаксагорЧто значит анаксимандр
Что означает анализ в математике
Значение аналитическая геометрия
↑ аналитическая геометрия: аналитическая геометрия в пространстве ↓
Что такое аналитическая философия
Что значит ананас крупнохохолковый
Что означает анастасий i
Значение анатолия, древняя цивилизация
Узнайте лексическое, прямое, переносное значение следующих слов:
- анатомия человека: мочевыделительная система - К статье АНАТОМИЯ ЧЕЛОВЕКА В организме имеется четыре органа ...
- анатомия человека - наука, изучающая строение тела, отдельные органы, ткани и ...
- анатомия сравнительная: сосудистая система - К статье АНАТОМИЯ СРАВНИТЕЛЬНАЯ Типичная сосудистая система состоит у ...
- анатомия сравнительная: система размножения - К статье АНАТОМИЯ СРАВНИТЕЛЬНАЯ Органы размножения (гонады) это ...
- анатомия сравнительная: пищеварительная система - К статье АНАТОМИЯ СРАВНИТЕЛЬНАЯ Пищеварительная система это кишечная ...
- анатомия сравнительная: мышечная система - К статье АНАТОМИЯ СРАВНИТЕЛЬНАЯ Главная функция мышечной системы ...
- анатомия сравнительная: классификация животных - К статье АНАТОМИЯ СРАВНИТЕЛЬНАЯ Прежде чем излагать результаты анатомического ...
- амстердам - столица, культурный, торговый и финансовый центр Нидерландов. Историческое ...
- амори - возможно написание Амальрих, имя двух иерусалимских королей. В ...
- амораи - группа раввинистических законоучителей в Палестине и Вавилонии, живших ...
- амнезия - потеря памяти, частичная или полная, временная или постоянная. ...
- аммиан марцеллин - (Ammianus Marcellinus) (ок. 330 ок. 395 н.э.), ...
- амио, жак - (Amyot, Jacques) (15131593), французский гуманист и церковный деятель. ...
- аминта - имя ряда царей Македонии. Аминта I стал царем в ...
- данилевский, николай яковлевич - (18221885), русский ученыйестествоиспытатель, мыслитель, публицист. Родился 28 ноября ...