К статье КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Определения Папп а. Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом . Пусть F - заданная точка (фокус), а L - заданная прямая ( директриса ), не проходящая через F, и DF и DL - расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно . Тогда , как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение DF/DL является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e коническое сечение - эллипс ; при e 1 - гипербола ; при e = 1 - парабола . Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями. Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса - бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю. Конструкция Данделена. Фокус ы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать , если воспользоваться сфера ми, вписанными в конус и называемыми сферами (шарами) Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж.Данделена (1794-1847), предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости p с двух полостным прямым круговым конусом с вершиной в точке O. Впишем в этот конус две сферы S1 и S2, которые касаются плоскости p в точках F1 и F2 соответственно. Если коническое сечение - эллипс (рис. 5,а), то обе сферы находятся внутри одной и той же полости: одна сфера расположена над плоскость ю p, а другая - под ней. Каждая образующая конуса касается обеих сфер, и геометрическое место точек касания имеет вид двух окружностей C1 и C2, расположенных в параллельных плоскостях p1 и p2. Пусть P - произвольная точка на коническом сечении. Проведем прямые PF1, PF2 и продлим прямую PO. Эти прямые - касательные к сферам в точках F1, F2 и R1, R2. Поскольку все касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны, то PF1 = PR1 и PF2 = PR2. Следовательно , PF1 + PF2 = PR1 + PR2 = R1R2. Так как плоскости p1 и p2 параллельны, отрезок R1R2 имеет постоянную длину. Таким образом, величина PR1 + PR2 одна и та же для всех положений точки P, и точка P принадлежит геометрическому месту точек, для которых сумма расстояний от P до F1 и F2 постоянна. Следовательно, точки F1 и F2 - фокусы эллиптического сечения. Кроме того , можно показать , что прямые, по которым плоскость p пересекает плоскости p1 и p2, - директрисы построенного эллипса. Если p пересекает обе полости конуса (рис. 5,б), то две сферы Данделена лежат по одну сторону от плоскости p, по одной сфере в каждой полости конуса. В этом случае разность между PF1 и PF2 постоянна, и геометрическое место точек P имеет форму гиперболы с фокусами F1 и F2 и прямыми - линиями пересечения p с p1 и p2 - в качестве директрис. Если коническое сечение - парабола, как показано на рис. 5,в, то в конус можно вписать только одну сферу Данделена. Другие свойства. Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарт а (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четыре х прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L1, L2, L3 и L4 (две из которых могут совпадать ) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L1 и L2 пропорционально произведению расстояний от P до L3 и L4, то геометрическое место точек P является коническим сечением. Ошибочно полагая, что Аполлоний и Папп не сумели решить задачу о геометрическом месте точек относительно четырех прямых, Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию.
Что такое конические сечения: свойства конических сечений? Значение конические сечения: свойства конических сечений в энциклопедии Кольера
конические сечения: свойства конических сечений - К статье КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Определения Паппа. Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F - заданная точка (фокус), а L - заданная прямая (директриса), не проходящая через F, и DF и DL - расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение DF/DL является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e коническое сечение - эллипс; при e 1 - гипербола; при e = 1 - парабола. Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями.
Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса - бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.
Конструкция Данделена. Фокусы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать, если воспользоваться сферами, вписанными в конус и называемыми сферами (шарами) Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж.Данделена (1794-1847), предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости p с двухполостным прямым круговым конусом с вершиной в точке O. Впишем в этот конус две сферы S1 и S2, которые касаются плоскости p в точках F1 и F2 соответственно. Если коническое сечение - эллипс (рис. 5,а), то обе сферы находятся внутри одной и той же полости: одна сфера расположена над плоскостью p, а другая - под ней. Каждая образующая конуса касается обеих сфер, и геометрическое место точек касания имеет вид двух окружностей C1 и C2, расположенных в параллельных плоскостях p1 и p2. Пусть P - произвольная точка на коническом сечении. Проведем прямые PF1, PF2 и продлим прямую PO. Эти прямые - касательные к сферам в точках F1, F2 и R1, R2. Поскольку все касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны, то PF1 = PR1 и PF2 = PR2. Следовательно, PF1 + PF2 = PR1 + PR2 = R1R2. Так как плоскости p1 и p2 параллельны, отрезок R1R2 имеет постоянную длину. Таким образом, величина PR1 + PR2 одна и та же для всех положений точки P, и точка P принадлежит геометрическому месту точек, для которых сумма расстояний от P до F1 и F2 постоянна. Следовательно, точки F1 и F2 - фокусы эллиптического сечения. Кроме того, можно показать, что прямые, по которым плоскость p пересекает плоскости p1 и p2, - директрисы построенного эллипса. Если p пересекает обе полости конуса (рис. 5,б), то две сферы Данделена лежат по одну сторону от плоскости p, по одной сфере в каждой полости конуса. В этом случае разность между PF1 и PF2 постоянна, и геометрическое место точек P имеет форму гиперболы с фокусами F1 и F2 и прямыми - линиями пересечения p с p1 и p2 - в качестве директрис. Если коническое сечение - парабола, как показано на рис. 5,в, то в конус можно вписать только одну сферу Данделена.
Другие свойства. Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L1, L2, L3 и L4 (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L1 и L2 пропорционально произведению расстояний от P до L3 и L4, то геометрическое место точек P является коническим сечением. Ошибочно полагая, что Аполлоний и Папп не сумели решить задачу о геометрическом месте точек относительно четырех прямых, Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию.
Соседние слова
Что такое конические сечения: аналитический подходЧто значит конические сечения: построение конических сечений
Что означает конические сечения: проективный подход
Значение конические сечения: ранняя история
↑ конические сечения: свойства конических сечений ↓
Что такое конические сечения: специальные построения
Что значит конкистадоры
Что означает конклав
Значение конкреция
Узнайте лексическое, прямое, переносное значение следующих слов:
- конструкционные и строительные материалы: лесоматериалы - К статье КОНСТРУКЦИОННЫЕ И СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Древесина древнейший ...
- конструкционные и строительные материалы: вяжущие материалы - К статье КОНСТРУКЦИОННЫЕ И СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Основные вяжущие материалы ...
- конструкционные и строительные материалы: бетон - К статье КОНСТРУКЦИОННЫЕ И СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Бетон один ...
- констебл, джон - (Constable, John) (17761837), английский пейзажист. Родился 11 июня ...
- констанций, флавий валерий - (Flavius Valerius Constantius) (ок. 250306), или Констанций I ...
- константин xi палеолог - (по другой нумерации XII) (14041453), или (по матери, ...
- констан, жан жозеф бенжамен - (Constant, JeanJosephBenjamin) (18451902), французский живописец. Родился в Париже ...
- конго: экономика - К статье КОНГО Примерно 60% трудоспособного населения занято в ...
- конго: природа - К статье КОНГО Береговая линия выровнена, ее протяженность ок. ...
- конго: население - К статье КОНГО Более половины населения живет в городах. ...
- конго: государственный строй и политика - К статье КОНГО Политические движения, которые сформировались в Конго ...
- конгломерат - или сцементированный галечник, осадочная порода, представляющая собой агрегат ...
- конвейеры - механические непрерывные транспортные средства для перемещения различных грузов ...
- компьютер: типы компьютеров - К статье КОМПЬЮТЕР Существуют два основных типа компьютеров: аналоговые ...
- эдуард vii - (Edward VII) (18411910), король Великобритании и Ирландии. Альберт ...