Что такое конические сечения: аналитический подход? Значение конические сечения: аналитический подход в энциклопедии Кольера

К статье КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Алгебраическая классификация . В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем виде как где не все коэффициент ы A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду ax2 + by2 + c = 0 или px2 + qy = 0. Первое уравнение получается из уравнения (1) при B2 . AC, второе - при B2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q ??0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов. Вывод уравнений конических сечений. Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхность ю, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени f (x, y, z) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия (см. ниже ) связаны с тем, что они были получены при пересечении плоскости с конус ом z2 = x2 + y2. Пусть ABCD - основание прямого кругового конуса (рис. 7) с прямым углом при вершине V. Пусть плоскость FDC пересекает образующую VB в точке F, основание - по прямой CD и поверхность конуса - по кривой DFPC, где P - любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD - точку E - прямую EF и диаметр AB. Через точку P проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пересекающую конус по окружности RPS и прямую EF в точке Q. Тогда QF и QP можно принять , соответственно , за абсциссу x и ординату y точки P. Получившаяся кривая будет параболой. Построение, представленное на рис. 7, можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружность ю, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому y2 = RQ?QS. Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS/EB = QF/FE). Отсюда следует, что где a - постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы. Если угол при вершине конуса острый , то отрезок RQ не равен отрезку AE; но соотношение y2 = RQ?QS эквивалентно уравнению вида где a и b - постоянные, или, после сдвига осей, уравнению являющемуся уравнением эллипс а. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = -a) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = -b) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой , то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид: или, после переноса осей, В этом случае точки пересечения с осью x, задаваемые соотношением x2 = a2, определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y, задаваемые соотношением y2 = -b2, определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду xy = k. Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины "эллипс", "парабола" и "гипербола" происходят от греческих слов, означающих "недостает", "равен" и "превосходит". Из уравнений (3), (2) и (4) ясно , что для эллипса y2 величина , заключенная в скобки , равна фокальному параметру кривой. Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его подход допускает обобщение , позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5; если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (рис. 6,б); если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении получается кривая типа 4 (рис. 6,а); при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр , и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6. Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность X2 + Y2 = a2 с помощью подстановки X = x, Y = (a/b) y преобразовать в эллипс, заданный уравнением (3a). Преобразование X = x, Y = (ai/b) y, где i2 = -1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4a). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот , эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью. Соотношение между ординатами окружности x2 + y2 = a2 и эллипса (x2/a2) + (y2/b2) = 1 непосредственно приводит к формуле Архимеда A = ?ab для площади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула ??(a + b) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 в. после введения эллиптических интегралов. Как показал Архимед, площадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписанного треугольника, но длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того , как в 17 в. было изобретено дифференциальное исчисление.