Что такое конечные разности? Значение конечные разности в энциклопедии Кольера

Исчисление конечных разностей связано с изучением свой ств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово "конечные" используется здесь в несколько устаревшем смысле "не бесконечно малые", т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей - самими разностями, то естественно , что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). На пример , термостату требуется значительное время , чтобы отреагировать на изменение температуры, по этом у он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад . Другой пример: автомашиной управляет водитель , которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию. Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину где d - некоторая постоянная, которую часто , но не всегда , принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается ?2f и представляет собой разность разностей, т.е. Продолжив этот процесс , мы получим разности более высоких порядков ?3f (x), ?4f (x), ??. Данные выше определения можно также применить к членам любых последовательностей величин, например , к последовательности 3, 6, 11, 18, 27, 38, ?? Первые разности равны 6 - 3, 11 - 6, 18 - 11, 27 - 18, 38 - 27, ?, т.е. 3, 5, 7, 9, 11, ?; разности второго порядка постоянны и равны 2. В общем виде такие последовательности можно записать как где разности первого, второго и т.д. порядков определяются выражениями а n может принимать любое допустимое для индекса значение. В некоторых приложениях используются последовательности вида где индексы могут принимать любые убывающие значения. В этом случае вместо символ а . используется символ "разделенной разности". Разделенные разности первого и второго порядков определяются следующим образом: Помимо уже названных выше приложений, исчисление конечных разностей используется в страховании, теории вероятностей и статистике. В последние годы с изобретением быстродействующих компьютеров конечные разности стали все более широко применяться при решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, многие из которых ранее было невозможно решить другими математическими методами. У истоков теории. Хотя исследование свойств и использование конечных разностей приходится на современный период развития математики, Птолемей (ок. 150 н.э.) ввел в Альмагесте таблицу разностей первого порядка, чтобы облегчить расчеты в таблице длин хорд. Разности второго порядка использовал при вычислении своих таблиц логарифмов в 1624 Г.Бриггс. Теория интерполяции берет начало со знаменитой пятой леммы из 3-й книги Математических начал (1687) И.Ньютона, в которой впервые была приведена формула , носящая ныне его имя. Частный случай формулы Ньютона, открытый также независимо его современником Дж.Грегори (1638-1675), приведен ниже (см. формулу (7)). В общей формуле интерполяции Ньютона использовались разделенные разности, хотя этот термин , по-видимому , был введен О.де Морганом (1806-1871) в 1848. Первое применение исчисления конечных разностей к задачам теории вероятностей принято связывать с именами П.де Монтмора (1678-1719) и А.де Муавра (1667-1754). Хотя Л.Эйлер (1707-1783) в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.Лагранжем (1736-1813) и П.Лапласом (1749-1827). Первый из них ввел в исчисление конечных разностей символические методы, второй сделал конечные разности главным инструментом в своей Аналитической теории вероятностей (1812). Под влиянием этих работ математики 19 в. принялись интенсивно разрабатывать предмет , и в 1860 Дж.Буль выпустил свой классический Трактат об исчислении конечных разностей. С тех пор это исчисление и круг его приложений существенно расширились. Одно из наиболее важных приложений конечные разности нашли в статистике. Особенно полезными они оказались в теории сериальной корреляции, в анализе случайных последовательностей и статистических временных рядов.