последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и "геометрическая прогрессия". Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью этой арифметической прогрессии, например 1, 2, 3, 4, . или 2, 5, 8, 11, 14, . ( многоточие означает "и т.д."). Разность между последовательными членами необязательно должна быть положительной, например, для прогрессии 3, 1, ?1, ?3, ?5, . она равна ?2. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число , называемое знаменателем прогрессии, например 5, 10, 20, 40, 80, . или 5, ?10, 20, ?40, 80, . (в первом случае знаменатель равен 2, во втором равен -2). Формулы. Рассмотрим n членов арифметической прогрессии. Пусть a - первый член, l - последний член и d - разность между последовательными членами. Тогда l = a +(n - 1) d. Сумма первых n членов прогрессии вычисляется следующим образом: Эту формулу легко запомнить , суть ее в том, что сумма n членов равна числу членов, умноженному на полусумму первого и последнего членов. Например , сумма последовательных целых чисел от 1 до 50 равна (1/2)?50?51 = 1275. Рассмотрим теперь n членов геометрической прогрессии; пусть a - первый член, l - последний член, S - сумма первых n членов прогрессии. Вместо разности d мы теперь должны использовать знаменатель прогрессии r, равный отношению любого последующего члена к предыдущему. Тогда и Например, если бы за первый день месяца вам заплатили 1 цент , а за каждый последующий день вы получали бы вдвое больше , чем за предыдущий , то за первые 10 дней вы заработали бы всего 10,23 долл., а за первые 30 дней уже 10737418,23 долл. Эти выкладки показывают, что при r 1 члены геометрической прогрессии в конце концов возрастают очень быстро. Такие геометрические прогрессии называются возрастающими. Они используются, например, при вычислении сложных процентов. Если 0 Если знаменатель прогрессии r заключен между ?1 и +1, то величина rn при больших n очень мала , и при n ??. сумма стремится к предел у a/(1 - r), называемому суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. также РЯДЫ). Если a и b - два заданных числа, то числа a, (a + b)/2 и b являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, а числа a, и b (a 0, b 0) - тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Средние члены (a + b)/2 и называются соответственно средним арифметическим и средним геометрическим чисел a и b. (Арифметическое среднее совпадает с обычным средним.) Другие прогрессии. Множество чисел иногда называется гармонической прогрессией, если величины , обратные этим числам, являются членами арифметической прогрессии. Например, числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, . образуют гармоническую прогрессию. Числа a, 2ab/(a + b) и b являются тремя последовательными членами гармонической прогрессии, а средний член называется гармоническим средним чисел a и b. Для суммы первых n членов гармонической прогрессии простой формулы не существует, но разность между суммой первых n членов и натуральным логарифмом числа n при n ??. стремится к некоторому пределу; этот предел называется постоянной Эйлера; ее приближенное значение равно 0,5772. В арифметической прогрессии разности между последовательными членами постоянны. Если разности не постоянны, а постоянны разности разностей, то прогрессия называется арифметической прогрессией второго порядка. Аналогичным образом определяются арифметические прогрессии более высоких порядков. Например, 2, 6, 12, 20, 30, . - арифметическая прогрессия второго порядка, так как разности 4, 6, 8, 10, . образуют арифметическую прогрессию с d = 2.
Что такое прогрессия? Значение слова прогрессия в энциклопедии Кольера
прогрессия -
последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и "геометрическая прогрессия". Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью этой арифметической прогрессии, например 1, 2, 3, 4, . или 2, 5, 8, 11, 14, . (многоточие означает "и т.д."). Разность между последовательными членами необязательно должна быть положительной, например, для прогрессии 3, 1, ?1, ?3, ?5, . она равна ?2. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число, называемое знаменателем прогрессии, например 5, 10, 20, 40, 80, . или 5, ?10, 20, ?40, 80, . (в первом случае знаменатель равен 2, во втором равен -2).
Формулы. Рассмотрим n членов арифметической прогрессии. Пусть a - первый член, l - последний член и d - разность между последовательными членами. Тогда
l = a +(n - 1) d.
Сумма первых n членов прогрессии вычисляется следующим образом:
Эту формулу легко запомнить, суть ее в том, что сумма n членов равна числу членов, умноженному на полусумму первого и последнего членов. Например, сумма последовательных целых чисел от 1 до 50 равна (1/2)?50?51 = 1275.
Рассмотрим теперь n членов геометрической прогрессии; пусть a - первый член, l - последний член, S - сумма первых n членов прогрессии. Вместо разности d мы теперь должны использовать знаменатель прогрессии r, равный отношению любого последующего члена к предыдущему. Тогда
и
Например, если бы за первый день месяца вам заплатили 1 цент, а за каждый последующий день вы получали бы вдвое больше, чем за предыдущий, то за первые 10 дней вы заработали бы всего 10,23 долл., а за первые 30 дней уже 10737418,23 долл. Эти выкладки показывают, что при r 1 члены геометрической прогрессии в конце концов возрастают очень быстро. Такие геометрические прогрессии называются возрастающими. Они используются, например, при вычислении сложных процентов. Если 0 < r < 1, то геометрическая прогрессия называется убывающей, если r < 0, то прогрессия - знакочередующаяся.
Если знаменатель прогрессии r заключен между ?1 и +1, то величина rn при больших n очень мала, и при n ??. сумма стремится к пределу a/(1 - r), называемому суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. также РЯДЫ).
Если a и b - два заданных числа, то числа a, (a + b)/2 и b являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, а числа a, и b (a 0, b 0) - тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Средние члены (a + b)/2 и называются соответственно средним арифметическим и средним геометрическим чисел a и b. (Арифметическое среднее совпадает с обычным средним.)
Другие прогрессии. Множество чисел иногда называется гармонической прогрессией, если величины, обратные этим числам, являются членами арифметической прогрессии. Например, числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, . образуют гармоническую прогрессию. Числа a, 2ab/(a + b) и b являются тремя последовательными членами гармонической прогрессии, а средний член называется гармоническим средним чисел a и b. Для суммы первых n членов гармонической прогрессии простой формулы не существует, но разность между суммой первых n членов и натуральным логарифмом числа n
при n ??. стремится к некоторому пределу; этот предел называется постоянной Эйлера; ее приближенное значение равно 0,5772.
В арифметической прогрессии разности между последовательными членами постоянны. Если разности не постоянны, а постоянны разности разностей, то прогрессия называется арифметической прогрессией второго порядка. Аналогичным образом определяются арифметические прогрессии более высоких порядков. Например, 2, 6, 12, 20, 30, . - арифметическая прогрессия второго порядка, так как разности 4, 6, 8, 10, . образуют арифметическую прогрессию с d = 2.
Однокоренные и похожие слова:
Значение слова прогрессия в других словарях:
- Что такое прогрессия? Энциклопедический словарь
- Определение термина прогрессия? Словарь Даля
- Толкование слова прогрессия? Словарь Ожегова
- Что означает слово прогрессия? Социологический словарь
- Что означает термин прогрессия? Словарь иностранных слов
- Что такое прогрессия? Толковый словарь Ушакова
Узнайте лексическое, прямое, переносное значение следующих слов:
- прус, болеслав - (псевд.; Prus, Boleslaw) (18471912), польский прозаик и журналист. ...
- прудон, пьер жозеф - (Proudhon, Pierre Joseph) (18091865), французский социалист, теоретик анархизма. ...
- прочностной расчет конструкции - начальный этап проектирования конструкции, на котором определяются действующие ...
- противовоздушная оборона: североамериканский континент - К статье ПРОТИВОВОЗДУШНАЯ ОБОРОНА Для предупреждения нападения командование ПВО ...
- противовоздушная оборона - защита некоторого района от поражения с воздуха оружием, ...
- протагор - (ок. 485411 до н.э.), греческий философ, уроженец Абдер ...
- простагландины - гормоноподобные вещества, которые синтезируются почти во всех тканях ...
- приливы и отливы - периодические колебания уровня воды (подъемы и спады) в ...
- прибрежная равнина - относительно ровная или пологонаклонная низкая равнина (низменность), простирающаяся ...
- претор - (лат. praetor), римский магистрат. Вначале должность претора была ...
- пресмыкающиеся - рептилии (Reptilia), класс позвоночных животных, занимающий по уровню ...
- пресвитер - (греч. presbyteros, "старейшина"). Пресвитерами в кальвинистских церквах обычно ...
- превращения веществ - Вещества могут претерпевать два типа превращений: физические и ...
- пракситель - (4 в. до н.э.), древнегреческий скульптор, родился в ...
- албания: история - б. албания под властью османской империи - К статье АЛБАНИЯ: ИСТОРИЯ Турки впервые вторглись в Европу ...