Что такое вероятностей теория: элементарная теория? Значение вероятностей теория: элементарная теория в энциклопедии Кольера

К статье ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ В очень простых ситуация х интуитивно ясно , каким образом можно приписать вероятности отдельным события м. Например , если в коробку положить 8 красных и 2 белых фишки для игры в покер и хорошенько потрясти ее, то представляется более вероятным, что, извлеченная из коробки , наудачу , фишка окажется красной; и действительно , вероятность извлечь красную фишку в четыре раза больше вероятности извлечь белую фишку. Так как это испытание ( извлечение из коробки первой фишки) имеет 10 возможных исход ов, из которых 8 приходится на долю красных фишек, то доля благоприятных исходов подсказывает, что вероятность извлечь красную фишку состав ляет 8/10 или 4/5. Ту же самую ситуацию нередко формулируют иначе , говоря, что шансы вынуть красную фишку равны 4 к 1; шансы p к q означают, что какое-то событие происходит с вероятностью p/(p + q). Аналогично при бросании симметричной игральной кости выпадению любой грани естественно приписать вероятность 1/6, а если мы бросаем симметричную монету, то любой из исходов - выпадение "орла" или "решки" - имеет вероятность 1/2. Но стоит перейти к более сложным событиям, как помощь со стороны интуиции становится менее надежной. Предположим, что мы бросаем две симметричные монеты . Существуют три возможных исхода: два "орла", две "решки" или "орел" и "решка". Большинство людей, поразмыслив, согласятся с тем, что этим исходам нельзя приписывать одну и ту же вероятность, поскольку два "орла" могут выпасть только в том случае, если первая монета выпадет вверх "орлом" и вторая монета также выпадет вверх "орлом", в то время как комбинация "орел" и "решка" возможна и если первая монета выпадет вверх "орлом", а вторая - вверх "решкой", и если первая монета выпадет вверх "решкой", а вторая - вверх "орлом". Короче говоря, анализ пока зывает, что трем возможным исходам бросаний двух монет следует приписать вероятности 1/4, 1/4 и 1/2. Корректность такого подхода можно подтвердить бросанием реальных монет в той же степени, в какой физические эксперименты подтверждают большинство законов природы. В более сложных ситуациях интуиция окончательно отказывает, и для того , чтобы правильно приписать ту или иную вероятность сложному событию, требуется некий математический инструмент ее подсчета. Вычисление вероятностей тесно связано с комбинаторным анализом, посвященным подсчету числа способов, которыми можно разместить те или иные объекты, или количества тех или иных событий, которые могут произойти при различных условиях. Элементарные вероятности определяются отношением числа случаев, при которых происходит интересующее нас событие ( благоприятный исход), к общему числу случаев. Например, две игральные кости могут выпасть 36 способами, из которых только в 6 случаях сумма выпавших очков равна 7, поэ тому вероятность выпадения 7 очков на двух костях равна 1/6. Два события, которые не могут происходить одно временно, называются взаимоисключающими. Например, при однократном бросании игральной кости 5 очков и 6 очков одновременно выпасть не могут. Вероятность того, что произойдет одно или друг ое взаимоисключающее событие, равна сумме вероятностей этих событий. Например, вероятность того, что при однократном бросании кости выпадет либо 5, либо 6 очков, равна 1/6 + 1/6 = 1/3. Вероятность досто верно го события (которое заведомо наступит) принимается равно й 1, а вероятность события, наступление которого невозможно , считается равной 0. Очевидно, что наступление и ненаступление данного события взаимно исключают друг друга, а потому , если вероятность наступления какого-нибудь события равна p, то вероятность его ненаступления будет 1 - p. Однако в более сложных задача х, когда число возможных исходов бесконечно велико, вероятность нельзя задать с помощью простого перечисления всех возможных случаев. Например, если мы представим себе испытание, состоящее в бесконечной серии бросаний симметричной монеты, то ситуация, когда во всех бросаниях выпадают только "орлы", в принцип е не невозможна, хотя такому исходу необходимо приписать вероятность, равную 0, так как в высшей степени "невероятно", чтобы в любой достаточно длинной серии бросаний выпадали только "орлы". Для детального анализа вероятностных задач, более сложных, чем простые азартные игры, необходима более строгая и абстрактная формулировка . Именно она и будет рассмотрена ниже. Основной принцип комбинаторного анализа гласит: если что-либо одно можно осуществить m способами, а нечто другое - n способами, то эти действия последовательно можно осуществить m?n способами. Например, обычно торшер ы выпускаются с одной большой лампой, которая может работать в трех режимах или быть выключенной, и тремя лампами поменьше , которые можно включать по 0, 1, 2 или 3. Таким образом, у торшера всего 4?4 = 16 рабочих режимов (в одном из них все лампы выключены), по этом у правильнее было бы говорить , что торшер можно включать 15-ю различными способами, а не 16-ю, как иногда пишут в рекламных объявлениях. Четверых людей можно выстроить в ряд 4?3?2?1 = 24 способами, так как первого можно выбрать 4 способами, второго - 3 способами, третьего - 2 способами, а четвертого - только одним. Но четырех людей можно посадить в четыре автобуса 4?4?4?4 = 256 способами, так как каждый из них может сесть в любой из четырех автобусов. Перестановки и сочетания. Многие задачи теории вероятностей удается проанализировать , если воспользоваться некоторыми следствиями из приведенного выше комбинаторного принципа. Размещение предмет ов в определенном порядке называется перестановкой этих предметов. Например, существуют шесть перестановок чисел 1, 2, 3, а именно: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1. Число перестановок из n предметов равно 1?2?3?????n. Сокращенно это число записывается как n! (и читается как "факториал числа n" или "n факториал"). Любое размещение предметов, порядок которых не имеет значения, называется сочетанием. Из набора чисел 1, 2, 3, 4, 5 можно извлечь десятью различными способами любые два числа, если мы условимся не различать пары , состоящие из одних и тех же чисел, взятых в различном порядке, т.е., например, не различать 1, 2 и 2, 1. Если из двенадцати человек нужно выбрать комитет в составе девяти членов, то это можно сделать стол ькими способами, сколько сочетаний из двенадцати по девять мы можем составить . Это, естественно, относится к случаю, когда сам порядок размещения членов внутри комитета несуществен. Однако число разных баскетбольных команд, которые можно составить из тех же двенадцати человек, равно числу перестановок из девяти элементов, которые можно набрать из этих двенадцати, так как в баскетбольной команде каждый игрок имеет свой номер . Вторая задача для анализа проще : существуют 12?11?10?9?8?7?6?5?4 перестановок, так как первый номер можно выбрать 12 различными способами, второй номер - 11 способами и т.д., пока мы не дойдем до последнего, девятого, номера, который может быть выбран четырьмя способами. В первой задаче любая из 9! перестановок девяти членов комитета приводит к одному и тому же составу комитета, так как состав комитета не зависит от того, в каком порядке перечислять его членов; иначе говоря, число перестановок 12?11?10?9?8?7?6?5?4 дает ответ , который в 9! раз больше, чем нужно. Следовательно , число сочетаний из двенадцати человек по девять равно указанному произведению, деленному на 9!, или В общем случае число сочетаний из n по r равно n (n - 1)(n - 2) . (n - r + 1)/r! или n!/r!(n - r)! Это число называется биномиальным коэффициентом (см. также НЬЮТОНА БИНОМ). Еще один полезный принцип состоит в утверждении, что n предметов можно разложить в r коробок rn различными способами, если в любой коробке может находиться любое число предметов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что первый предмет можно положить в любую из r коробок, после чего второй предмет также можно положить в любую из r коробок и т.д. Таким образом, n предметов можно разложить способами. Обратимся теперь к некоторым приложениям этих принципов. 1) Какова вероятность выпадения ровно двух шестерок при пяти бросаниях игральной кости (или, что то же, при одном бросании пяти костей). Пять костей могут выпасть 65 способами. Две кости, на которых выпали шестерки, можно выбрать способами (сочетания появляются потому, что порядок, в котором выпадают шестерки, несуществен), т.е. (5?4?3?2?1)/((2?1)?. (3?2?1)) = 10 способами. Нешестерки (их 5: 1, 2, 3, 4 и 5 очков) на остальных 3 костях могут выпасть 53 способами. Следовательно, мы получаем ровно две шестерки из пяти бросаний 10?53 способами; искомая вероятность, таким образом, равна 10?53/65 или 1250/7776, т.е. ок. 1/6. Вероятность выпадения не менее двух шестерок при пяти бросаниях кости несколько больше; она равна сумме вероятностей взаимоисключающих событий - выпадения ровно 2, 3, 4, 5 или 6 шестерок при 5 бросаниях. После довательное применение такого рода рассуждений иногда приводит к удивительным заключениям. что чуть больше 1/2. Если вы выберете наугад 23 (или более) человека, то с большей вероятностью обнаружите, что по крайней мере у двоих дни рождения совпадают, чем то, что все 23 (или более) дня рождения приходятся на различные дни года. Разумеется, вероятность того, что дни рождения двух людей приходятся на 4 июля или на какой-нибудь другой заранее выбранный день , гораздо меньше. При больших значениях n эта величина почти не зависит от n и равна 0,632 (с точностью до трех цифр после запятой) при n . 6; 0,633 при n = 5; 0,625 при n = 4 и 0,667 при n = 3. Таким образом (переходя к другой, аналогичной задаче), если выкладывать по одной на стол карты из двух тщательно перетасованных колод, то выкладываемые на стол карты совпадут с вероятностью почти 2/3 по крайней мере один раз. Это утверждение верно, если в каждой колоде более двух карт.