Что такое Метаматематика? Значение слова Метаматематика в философском словаре

1) Метаматематика - - раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. М. рассматривает формализованную теорию как множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой предложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве аксиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам содержательной теории. Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы , исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с помощью простых методов М. удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако теоремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществима. Использование финитных методов для исследования формализованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера . Но на практике ограничение методов доказательства элементарными методами значительно усложняет математические исследования. Поэтому для более глубокого проникновения в сущность формализованных теорий современная М. широко использует более сложные, нефинитные методы. Множество термов любой формализованной теории является алгеброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно: булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и топологического пространства. С этой точки зрения представляется естественным применение в М. методов алгебры, теории решеток (структур), теории множеств и топологии. В М. широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций. М. исследует вопросы непротиворечивости и полноты формализованных теорий; независимость аксиом; проблему разрешимости; вопросы определимости и погружения одних теорий в другие; дает точное определение понятия доказательства для различных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции; изучает проблемы интерпретации формальных систем и их различные модели; устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т. п.

2) Метаматематика - ( теория доказательств) — теория, к-рая занимается изучением различных свойств формальных систем и исчислений ( непротиворечивость , полнота и др.). Термин “М.” введен Гильбертом в связи с его концепцией обоснования математики ( Формализм ). За последние годы в этой области получен ряд важных результатов ( теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики и о невозможности доказательства непротиворечивости системы с помощью средств, формализуемых в этой системе, и др.).

Метаматематика

- раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных метод ов. М. рассматривает формализованную теорию как множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы , получаемые с помощью простых правил, служат заменой предложениям и функциям содержательной математической теории . Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве аксиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам содержательной теории. Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь , могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы , исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт , полагавший, что с помощью простых методов М. удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако теоремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществима. Использование финитных методов для исследования формализованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера . Но на практике ограничение методов доказательства элементарными методами значительно усложняет математические исследования. Поэтому для более глубокого проникновения в сущность формализованных теорий современная М. широко использует более сложные, нефинитные методы. Множество термов любой формализованной теории является алгеброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно : булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и топологического пространства. С этой точки зрения представляется естественным применение в М. методов алгебры, теории решеток (структур), теории множеств и топологии. В М. широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций. М. исследует вопросы непротиворечивости и полноты формализованных теорий; независимость аксиом; проблему разрешимости; вопросы определимости и погружения одних теорий в другие; дает точное определение понятия доказательства для различных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции; изучает проблемы интерпретации формальных систем и их различные модели; устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т. п.

( теория доказательств) — теория, к-рая занимается изучением различных свойств формальных систем и исчислений ( непротиворечивость , полнота и др.). Термин “М.” введен Гильберт ом в связи с его концепцией об основания математики ( Формализм ). За после дние годы в этой области получен ряд важных результатов ( теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики и о невозможности доказательства непротиворечивости системы с помощью средств, формализуемых в этой системе, и др.).

Значение слова Метаматематика в других словарях:

Узнайте лексическое, прямое, переносное значение следующих слов:

  • Методология - учение о способах организации и построения теоретической ...
  • Метаязык - 1) в классической философии: понятие фиксирующее логический ...
  • Метафизика - (греч. meta ta physika после физики: выражение ...
  • Материя - (лат. materia вещество ) философская категория ...
  • Марксизм - идейное течение второй половины 1920 вв., традиционно ...
  • Майевтика - (греч. maieutike повивальное искусство ) метафора ...
  • Мудрец - Философский смысл термина : Мудрец (Геродот, Диоген Лаэртский, ...
  • Медиация - развитая логическая клеточка мышления, смыслообрадовения, воспроизводственной деятельности, ...
  • Манихейство - I. Духовное течение, возникшее на Ближнем Востоке в ...
  • Микрохронос - (или слово " хронос " со строчной буквы) ...
  • Меристема - 1. Буквально (биолог.) образовательная недифференцированная ткань. В ...
  • Любовь - — интимное и глубокое чувство устремленное на др. ...
  • Ложь - — искаженное отражение действительности, такое познавательное содержание крое ...
  • Логицизм - — одно из осн. направлений обоснования математики, стремящееся ...
  • Патриотизм - (гречродина): моральная позиция выражающаяся в любви к родине, ...


Прикладные словари

Справочные словари

Толковые словари

Жаргонные словари

Гуманитарные словари

Технические словари