— раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных метод ов. М. рассматривает формализованную теорию как множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых фор- мулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой предложениям и функциям содержательной математической теории . Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве аксиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам содержательной теории. Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь , могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт , полагавший, что с помощью простых методов М. удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако теоремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществима. Использование финитных методов для исследования формализованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера. Но на практике ограничение методов доказательства элементарными методами значительно усложняет математические исследования. Поэтому для более глубокого проникновения в сущность формализованных теорий современная М. широко использует более сложные, нефинитные методы. Множество термов любой формализованной теории является алгеброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно : булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и топологического пространства. С этой точки зрения представляется естественным применение в М. методов алгебры, теории решеток (структур), теории множеств и топологии. В М. широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций. М. исследует вопросы непротиворечивости и полноты формализованных теорий; независимость аксиом; проблему разрешимости; вопросы определимости и погружения одних теорий в другие; дает точное определение понятия доказательства для различных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции; изучает проблемы интерпретации формальных систем и их различные модели; устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т. п.
Что такое Метаматематика? Значение слова Метаматематика в словаре логики
Метаматематика - — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. М. рассматривает формализованную теорию как множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых фор- мулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой предложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве аксиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам содержательной теории. Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с помощью простых методов М. удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако теоремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществима. Использование финитных методов для исследования формализованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера. Но на практике ограничение методов доказательства элементарными методами значительно усложняет математические исследования. Поэтому для более глубокого проникновения в сущность формализованных теорий современная М. широко использует более сложные, нефинитные методы. Множество термов любой формализованной теории является алгеброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно: булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и топологического пространства. С этой точки зрения представляется естественным применение в М. методов алгебры, теории решеток (структур), теории множеств и топологии. В М. широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций. М. исследует вопросы непротиворечивости и полноты формализованных теорий; независимость аксиом; проблему разрешимости; вопросы определимости и погружения одних теорий в другие; дает точное определение понятия доказательства для различных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции; изучает проблемы интерпретации формальных систем и их различные модели; устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т. п.
Значение слова Метаматематика в других словарях:
- Что такое Метаматематика? Философский словарь
Узнайте лексическое, прямое, переносное значение следующих слов:
- Независимость - (в логике и математике) — невыводимость предложения некоторой ...
- Не Вытекает, Не Следует - (лат. поп sequitur) — логическая ошибка в доказательстве ...
- Мышление - — активный процесс отражения объективного мира в понятиях, ...
- Модус Толлендо Поненс - (лат. modus tollendo ponens) термин средневековой логики, ...
- Модус Понендо Толленс - (лат. modus ponendo tollens) термин средневековой логики, ...
- Модель Семантическая - система значений, приписываемых выражениям некоторого формализованного языка, ...
- Модальность - (от лат., modus — мера, способ) — оценка ...
- Логика Комбинаторная - (от лат. combinare — соединять, сочетать) — одно ...
- Логика Классическая - раздел современной (математической, символической) логики, включающий классическую ...
- Логика Изменения - раздел современной логики, занимающийся исследованием логических связей ...
- Логика Высказываний - или: Пропозициональная логика, — раздел логики, формализующий употребление ...
- Логика - (от греч. logos — слово, понятие, рассуждение, разум), ...
- Лемма - (от греч. lemma — предположение) в математике ...
- Круг В Доказательстве - (лат. — circulus in demonstrando) — логическая ошибка ...
- Вербальное Определение - — определение, сформулированное в языке с помощью слов ...