К статье УРАВНЕНИЯ Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа , имеется достаточно полная теория их решения. Линейные уравнения . Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. На пример , уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги , совершаемые при сведении просто го уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом. 1. Если равные величины увеличить на одно и то же число , то результаты будут равны. 2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны. 3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны. 4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны. Например , чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением. Квадратные уравнения. Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать. Другие алгебраические уравнения. Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть , т.е. разлагая ее на множители. Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2 - x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю: Таким образом, корни равны x = -1, , т.е. всего 3 корня. Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней. Системы линейных уравнений. Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде Решение такой системы находится с помощью определителей Оно имеет смысл , если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации - система (2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений. Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными: Если m = n и матрица (aij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера: где Aji - алгебраическое дополнение элемента aij в матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r - ранг матрицы (aij), s - ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi. Тогда : (1) если r = s, то существует n - r линейно независимых решений; (2) если r также АЛГЕБРА .
Что такое уравнения: решение алгебраических уравнений? Значение уравнения: решение алгебраических уравнений в энциклопедии Кольера
уравнения: решение алгебраических уравнений - К статье УРАВНЕНИЯ
Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.
Линейные уравнения. Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.
1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.
Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Квадратные уравнения. Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы
Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.
Другие алгебраические уравнения. Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.
Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2 - x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:
Таким образом, корни равны x = -1, , т.е. всего 3 корня.
Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.
Системы линейных уравнений. Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде
Решение такой системы находится с помощью определителей
Оно имеет смысл, если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации - система
(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений.
Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:
Если m = n и матрица (aij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:
где Aji - алгебраическое дополнение элемента aij в матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r - ранг матрицы (aij), s - ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi. Тогда: (1) если r = s, то существует n - r линейно независимых решений; (2) если r < s, то уравнения несовместны и решений не существует. См. также АЛГЕБРА
.
Соседние слова
Что такое уотсон, джон бродесЧто значит уотсон, томас джон
Что означает уоттс, джордж фредерик
Значение уравнения
↑ уравнения: решение алгебраических уравнений ↓
Что такое уравнения: типы уравнений
Что значит уран
Что означает уран - а. нахождение в природе
Значение уран - б. открытие
Однокоренные и похожие слова:
Узнайте лексическое, прямое, переносное значение следующих слов:
- уругвай: культура - б. изобразительное искусство - К статье УРУГВАЙ: КУЛЬТУРА Выдающимся уругвайским художником 19 в. ...
- уругвай: культура - К статье УРУГВАЙ Культура Уругвая имеет испанские корни; наиболее ...
- уругвай: история - д. восстановление национального правительственного совета - К статье УРУГВАЙ: ИСТОРИЯ Поскольку на президентских выборах 1950 ...
- уругвай: история - в. укрепление стабильности - К статье УРУГВАЙ: ИСТОРИЯ После войны 18651870 военное вмешательство ...
- уругвай: история - а. ранние этапы заселения - К статье УРУГВАЙ: ИСТОРИЯ В доколониальную эпоху левый (восточный) ...
- уругвай: государственный строй - К статье УРУГВАЙ Правительство страны. На протяжении большей части ...
- уриил - (евр. Уриэль, "Бог мой свет"), один из ...
- уоллес, алфред рассел - (Wallace, Alfred Russel) (18231913), английский натуралист и писатель. ...
- унсет, сигрид - (Undset, Sigrid) (18821949), норвежская романистка, автор трилогии Кристин, ...
- универсализм - убеждение в возможности спасения всех людей. Учение прослеживается ...
- умственная отсталость - недоразвитие интеллекта или в более широком смысле ...
- ультразвук - упругие волны высокой частоты, которым посвящены специальные разделы ...
- уланова, галина сергеевна - (19101998), великая русская балерина. Родилась в СанктПетербурге 10 января ...
- украина: экономика - е. сельское хозяйство - К статье УКРАИНА: ЭКОНОМИКА Частные крестьянские хозяйства Украины, как ...
- барлах, эрнст генрих - (Barlach, Ernst Heinrich) (18701938), немецкий скульптор, график и ...